Matematika adalah ilmu pasti yang dapat digunakan untuk membuktikan suatu fenomena. Sebuah pernyataan matematika dapat dibuktikan melalui proses induksi matematika. Proses induksi matematika memiliki beberapa langkah yang sering membuat siswa bingung. Pada kesempatan ini akan dijelaskan mengenai contoh soal induksi matematika beserta pembahasannya.
Contoh Soal Induksi Matematika dan Pembahasan
1. Jika diberikan sebuah deret seperti di bawah ini. Buktikan bahwa rumus tersebut berlaku untuk deret yang diberikan.
A(n) : 2 + 4 + 6 + ….. + 2n = n(n+1), untuk setiap nilai n adalah bilangan asli
Pembuktian pernyataan matematika dapat dilakukan dengan induksi matematika dengan 2 langkah yaitu basis induksi dan langkah induksi. Berikut cara pengerjaan menggunakan induksi matematika.
a. Basis Induksi
Basis induksi adalah membuktikan bahwa pernyataan tersebut bernilai benar jika nilai n diganti dengan 1. Sehingga kamu bisa memasukkan angka 1 ke dalam pernyataan tersebut.
A(n) : A1 + A2 + A3 + ….. + An = n(n+1)
A(n) → 2 + 4 + 6 +…. + 2n = n(n+1)
A(1) = 2, dilakukan pembuktian bahwa A(1) = 2 adalah benar
A(n) = n(n+1)
A(1) = 1(1+1)
A(1) = 2
Dari pembuktian tersebut ditemukan bahwa A(1) = 2 adalah benar. Proses selanjutnya adalah langkah induksi untuk menyatakan A(k) dan A(k+1) adalah benar.
b. Langkah Induksi
Kamu bisa memasukkan nilai k dan k+1 ke dalam persamaan tersebut untuk membuktikan pernyataan A(k) dan A(k+1) adalah benar. Asumsikan bahwa pernyataan A(k) adalah benar,
A(n) : A1 + A2 + A3 + ….. + An = n(n+1)
A(k) : 2 + 4 + 6 + ….. + 2k = k(k+1), k ε N
Asumsi yang telah dilakukan menunjukkan bentuk pernyataan tersebut dengan memasukkan nilai k menjadi A(k) seperti di bawah ini.
A(k) → 2 + 4 + 6 + ….. + 2k = k(k+1)
Pembuktian pernyataan A(k+1) juga benar,
A(n) : A1 + A2 + A3 + ….. + An = n(n+1)
A(k+1) : 2 + 4 + 6 + ….. + 2(k+1) = (k+1)(k+1+1)
Tambahkan kedua ruas suku K dengan suku baru yaitu suku K+1, sehingga membentuk persamaan di bawah ini.
A(k+1) → 2 + 4 + 6 + ….. + 2k + 2(k+1) = k(k+1) + 2(k+1)
A(k+1) = k2 + k + 2k + 2
A(k+1) = k2 + 3k + 2
A(k+1) = (k+1)(k+2)
A(k+1) = (k+1)(k+1+1)
Pernyataan di atas membuktikan bahwa A(k+1) adalah benar. Sehingga berdasarkan proses induksi matematika, A(n) : 2 + 4 + 6 + ….. + 2n = n(n+1) untuk setiap n bilangan asli adalah benar.
2. Jika jumlah a buah bilangan ganjil positif pertama adalah a2. Buktikan bahwa pernyataan matematika ini benar menggunakan induksi matematika.
Sama seperti soal di atas, ada 2 langkah yang perlu dilakukan yaitu basis induksi dan langkah induksi.
a. Basis Induksi
Berdasarkan pernyataan di atas, bentuk pernyataan matematikanya dapat dituliskan seperti di bawah ini.
X(a) : 1 + 3 + 5 + ….. + (2a – 1) = a2
Sehingga kamu bisa mengganti nilai n dengan 1, untuk menyatakan pernyataan di atas adalah benar.
X(a) : X1 + X2 + X3 + … + Xa = a2
X(1) = 1, dilakukan pembuktian kebenaran pernyataan X(1) = 1
X(a) = a2
X(1) = 12
X(1) = 1
Berdasarkan bukti di atas, jika a diganti dengan 1, maka jumlah bilangan ganjil positif pertama adalah a2.
b. Langkah Induksi
Langkah selanjutnya adalah menyatakan bahwa X(k) dan X(k+1) adalah benar. Untuk membuktikan kedua pernyataan ini, kamu harus memasukkan nilai k sembarang ke dalam pernyataan tersebut sehingga bentuknya menjadi seperti di bawah ini. Asumsikan bahwa pernyataan X(k) adalah benar,
X(a) : X1 + X2 + X3 + ….. + Xa = a2
X(k) : 1 + 3 + 5 + ….. + (2k -1) = k2
Dari asumsi yang telah dilakukan, sehingga ditemukan X(k) seperti di bawah ini.
X(k) : 2 + 4 + 6 + ….. + (2k – 1) = k2
Pembuktian pernyataan X(k+1) juga benar,
X(a) : X1 +X2 + X3 + ….. + Xa = a2
Tambahkan kedua ruas suku K dengan suku baru yaitu suku K+1, sehingga membentuk persamaan di bawah ini.
X(k+1) : 1 + 3 + 5 + ….. + (2k -1) + (2k+1) = (k2) + (2k + 1)
X(k+1) = k2 + 2k + 1
X(k+1) = (k+1)2
Pernyataan di atas membuktikan bahwa X(k+1) adalah benar. Sehingga berdasarkan proses induksi matematika, X(a) : 1 + 3 + 5 + ….. + (2a – 1) = a2 untuk setiap penjumlahan bilangan ganjil positif pertama adalah benar.
3. Jika terdapat sebuah pernyataan “6n + 4 habis dibagi dengan 5, untuk setiap n adalah bilangan asli”. Tentukan kebenaran dari pernyataan tersebut.
Kamu dapat mencari basis induksi dan melakukan langkah induksi pada pernyataan di atas.
a. Basis Induksi
Pada basis induksi, kamu bisa memasukkan nilai n = 1 untuk membuktikan bahwa P(1) adalah benar. Sehingga bentuk pernyataannya menjadi seperti di bawah ini.
P(n) : 6n + 4 habis dibagi dengan 5, setiap n adalah bilangan asli
P(1) : 61 + 4 = 10
P(1) : 10 (habis dibagi oleh 5)
Sehingga pernyataan P(1) menjadi benar karena habis dibagi dengan lima.
b. Langkah Induksi
Setelah kamu menemukan pernyataan P(1) adalah benar. Kamu bisa memasukkan sembarang nilai k dan k+1 ke dalam pernyataan tersebut untuk membuktikan bahwa pernyatan P(k) dan P(k+1) adalah benar. Asumsikan bahwa P(k) adalah benar, sehingga pernyataannya menjadi seperti di bawah ini.
P(n) : 6n + 4 habis dibagi dengan 5, setiap n adalah bilangan asli
P(k) : 6k + 4 habis dibagi 5, k ε N
Pembuktian bahwa P(k+1) juga benar pada pernyataan tersebut, sehingga bentuk persamaannya.
P(n) : 6n + 4 habis dibagi dengan 5, setiap n adalah bilangan asli
P(k+1) : 6k+1 + 4 = 6k+1 + 4 (menggunakan sifat perkalian pangkat)
P(k+1) = 6(6k) + 4 (sifat penjumlahan)
P(k+1) = 5(6k) + 6k + 4
Bentuk 5(6k) dapat habis dibagi 5 dan bentuk 6k + 4 juga habis dibagi dengan 5. Sehingga P(k+1) dapat habis dibagi 5 dan pernyataan tersebut bernilai benar. Berdasarkan induksi matematika yang dilakukan menunjukkan bahwa pernyataan “6n + 4 habis dibagi dengan 5, untuk setiap n adalah bilangan asli” adalah benar.
Setelah melihat contoh soal induksi matematika di atas, dalam mencari kebenaran pernyataan matematika dapat dilakukan dengan 2 langkah yaitu basis induksi dan langkah induksi seperti pembahasan di atas.
Baca Juga:
