Program Linier - Definisi, Model Matematika dan Contoh Soalnya

Halo sobat semua artikel ini membahas tentang Program Linier mulai dari definisinya, nilai dan fungsi, model berikut dengan contoh soalnya.

Program linear yakni suatu program yang dipakai sebagai metode yang pada umumnya dipakai untuk memecahkan sebuah masalah misalnya pengalokasian sumber daya dan tujuan akhir yakni menentukan nilai minimum ataupun maksimum.

Untuk lebih lengkapnya yuk kita simak pembahasan lengkapnya dibawah ini:

Contents show

Definisi Dari Program Linier

Program linear ialah sebuah program yang dipakai sebagai sebuah metode dari penentuan nilai optimum dari sebuah persoalan linear.

Nilai optimum atau maksimal ataupun minimum bisa diperoleh dari nilai didalam sebuah himpunan penyelesaiaan dari persoalan linear.

Di dalam sebuah persoalan linear itu terdapat fungsi linear yang dapat disebut dengan fungsi objektif.

Persyaratan, batasan, serta kendala didalam persoalan linear ialah merupakan sistem pertidaksamaan linear.

Perhatikanlah tabel persoalan maksimum dan juga minimum dibawah ini:

PERSOALAN MAKSIMUM	PERSOALAN MINIMUM
Maksimum f (x,y) =ax + by	Minimum f (x,y) =ax + by
Syarat: c₁x + d₁y ≤ k₁ c₂x + d₂y ≤ k₂ x ≥ 0 y ≥ 0	Syarat: m₁x + n₁y ≤ k₁ m₂x + n₂y ≤ k₂ x ≥ 0 y ≥ 0
Dengan a,b,c,d adalah koefisien dan k adalah konstanta	Dengan a,b,m,n adalah koefisien dan k adalah konstanta

Nilai Optimum Fungsi Objektif

Fungsi objektif yakni fungsi linear dan juga batasan-batasan pertidaksamaan linear yang mempunyai suatu himpunan penyelesaian.

Himpunan penyelesaian yang sudah ada yakni berupa titik-titik didalam diagram cartesius yang dimana apabila koordinatnya itu disubstitusikan kedalam fungsi linear maka bisa memenuhi persyaratan yang sudah ditentukan.

Nilai optimum dari fungsi objektif dari sebuah persoalan linear dapat ditentukan dengan memakai metode grafik.

Dengan cara melihat grafik dari sebuah fungsi objektif serta batasan-batasannya, maka kita dapat tentukan letak titik yang dimana menjadi sebuah nilai optimum.

Langkah-langkahnya yakni sebagai berikut :

Menggambar sebuah himpunan penyelesaian dari semua batasan syarat yang sudah ada didalam cartesius.
Menentukan titik-titik ekstrim yang dimana berupa perpotongan digaris batasan dengan adanya garis batasan yang lainnya. Titik-titik ekstrim itu ialah himpunan penyelesaian dari batasannya serta mempunyai sebuah kemungkinaan besar bisa membuat fungsi untuk menjadi optimum.
Meneliti dari nilai optimum fungsi objektif menggunakan dua acara, yakni :
- Memakai garis selidik, dan juga
- Membandingkan setiap nilai fungsi objektif di tiap titik ekstrim.

1. Menggunakan Garis Selidik

Garis selidik bisa didapatkan dari fungsi objektif f(x, y) = ax + by yang dimana garis selidiknya yakni:

ax + by = Z

Nilai Z yang diberikan sembarang nilai.

Garis ini dibuat sesudah grafik himpunan penyelesaian dari pertidaksamaannya juga sudah dibuat.

Garis selidik awal itu dibuat pada area himpunan penyelesaian dari awal. Lalu dibuat sebuah garis-garis yang sejajar menggunakan garis selidik awal.

Berikut ini ialah pedoman agar dapat mempermudah penyelidikian dari nilai fungsi optimum:

Cara 1 (syarat a > 0), yakni:

Apabila maksimum, jadi harus dibuat garis sejajar dengan garis selidik awal sehingganya bisa membuat himpunan penyelesaian yang berada di kiri garis itu. Titik yang dimana dilalui garis itu yakni titik maksimum.

Apabila minimum, jadi dibuatlah garis yang sejajar dengan garis selidik awal sehingganya bisa membuat sebuah himpunan penyelesaian yang berada di kanan garis itu.

Titik yang dilalui garis itu yakni titik minimum.

Perhatikan grafik yang ada dibawah ini dibawah:

Cara ke- 2 (syarat b > 0), yakni :

Apabila maksimum: Jadi dibuat garis yang sejajar dengan garis selidik awal sehingganya membuat himpunan penyelesaian yang berada di bawah garis itu. Titik yang dilalui garis itu yakni titik maksimum.
Apabila minimum: Jadi dibuatlah garis yang sejajar dengan garis selidik awal sehingganya membuat himpunan penyelesaian yang berada di atas garis itu. Titik yang dilalui garis itu yakni titik minimum.

Perhatikanlah grafik yang ada dibawah ini:

Untuk nilai a < 0 dan juga b < 0 maka berlaku suatu kebalikan dari kedua cara yang dimana dijelaskan di atas.

2. Membandingkan Dengan Nilai Fungsi Ditiap Titik Ekstrim

Menyelidiki dengan nilai optimum dari fungsi objektif bisa dilakukan dengan terlebih dulu menentukan titik-titik potong dari sebuah garis-garis batas yang sudah ada. Titik-titik potong itu ialah nilai ekstrim yang dimana berpotensi mempunyai nilai maksimum disalah satu titiknya.

Berdasarkan dengan titik-titik itu, maka bisa ditentukan dengan nilai masing-masing fungsinya, yaitu kemudian dibandingkan.

Nilai terbesar yakni nilai maksimum dan juga nilai terkecil yakni nilai minimum.

Model Matematika Program Linier

Persoalan dalam program linear yang masih dinyatakan dalam kalimat-kalimat pernyataan umum, kemudian diubah kedalam sebuah model matematika.

Model matematika adalah pernyataan yang menggunakan peubah dan notasi matematika.

Sebagai gambaran:

Sebuah produsen sepatu membuat 2 model sepatu menggunakan 2 bahan yang berbeda. Komposisi model yang pertama terdiri dari 200 gr bahan pertama dan bahan kedua 150 gr.

Sedangkan komposisi model kedua tersebut terdiri dari 180 gr bahan pertama dan 170 gr bahan kedua. Persediaan di gudang bahan pertama 76 kg dan persediaan digudang untuk bahan kedua 64 kg.

Harga model pertama ialah Rp. 500.000,00 dan untuk model kedua harganya Rp. 400.000,00.

Apabila disimpulkan atau disederhanakan ke dalam bentuk tabel akan menjadi sebagai berikut:

Jenis Sepatu	Bahan 1	Bahan 2	Harga sepatu	Jumlah Sepatu
Model 1	200 gr	150 gr	Rp. 500.000,00	x
Model 2	180 gr	170 gr	Rp. 400.000,00	y
Ketersediaan	72.000 gr	64.000 gr

Dengan adanya perubahan dari jumlah optimal dari model 1 yakni x serta model 2 yakni y, dan juga hasil dari penjualan optimal yakni f(x, y) = 500.000x + 400.000y. Dengan adanya beberapa syarat:

Apabila jumlah maksimal dari bahan 1 yakni 72.000 gr, jadi 200x + 150y ≤ 72.000.
Apabila jumlah maksimal dari bahan 2 yakni 64.000 gr, jadi 180x + 170y ≤ 64.000
Masing-masing di setiap model yang harus dibuat.

Model matematika agar mendapatkan jumlah penjualan yang paling maksimum yakni:

PERMODELAN MAKSIMUM
Maksimum f (x,y) = 500.000 + 400.000y
Syarat : 200x + 150y ≤ 72.000 180 x + 170y ≤ 64.000 x ≥ 0 y ≥ 0

Contoh Soal Program Linier

Contoh Soal 1

Tentukanlah dimanakah nilai maksimum dari fungsi f(x, y) = 4x + 5y yang mau dicapai didalam grafik ini!

Pembahasan 2:

Titik ekstrim di gambar diatas ialah :

A tak mungkin maksimum dikarenakan titik A yang paling kiri.
B(3, 6)
C(8, 2)
D(8, 0)

Nilai di tiap titik ekstrim yakni :

$B(3, 6) \longrightarrow f(3, 6) = 4(3) + 5(6) = 42$
$C(8, 2) \longrightarrow f(8, 2) = 4(8) + 5(2) = 42$
$D(8, 0) \longrightarrow f(8, 0) = 4(8) + 5(0) = 32$

Sehingga bisa diketahui hasilnya bahwa sanya nilai maksimumnya ada dititik yang melalui garis BC dimana nilai maksimum ialah 42.

Demikianlah yang dapat admin sampaikan materi ini dimana pembahasan mengenai Program Linier. Semoga dengan materi yang sudah dibahas melalui artikel ini, dapat memberikan pemahamaan dan manfaat untuk sahabat pembaca semua.

Baca Juga: