Dalam kehidupan sehari-hari kamu akan menemukan banyak urutan bilangan yang mempunyai pola. Pola-pola dalam bilangan salah satunya adalah deret aritmatika.
Pada kesempatan ini, kamu akan mempelajari mengenai aritmatika yang di dalamnya terdapat barisan dan deret. Selain itu, kamu juga akan mempelajari rumus yang digunakan dalam pola aritmatika di bawah ini.
Memahami Aritmatika
Pembahasan pertama yang akan kamu pelajari adalah pengertian dari aritmatika dan ruang lingkup yang ada di dalamnya.
Aritmatika dalam matematika mempelajari tentang operasi dasar bilangan baik itu penjumlahan, pengurangan, pembagian, atau perkalian.
Operasi dasar bilangan ini akan membentuk dua pola aritmatika yaitu barisan dan deret.
1. Barisan Aritmatika
Pengertian pertama yang akan kamu pelajari adalah barisan aritmatika. Barisan aritmatika merupakan susunan bilangan dengan pola tertentu yang memiliki selisih/beda tiap bilangan tetap.
Misalkan kamu mempunyai urutan angka 1, 3, 5, 7, dan seterusnya.
Selisih tiap bilangan pada urutan angka yang kamu punya bernilai tetap yaitu bertambah 2.
Suatu barisan aritmatika akan memiliki nilai yang cenderung naik atau cenderung turun.
Jika barisan aritmatika memiliki nilai yang cenderung naik seperti 1, 3, 5, 7, dan seterusnya, maka barisan aritmatika tersebut mempunya selisih yang positif (b>0).
Jika barisan aritmatika memiliki nilai yang cenderung menurun, maka nilai b<0.
Baca Juga : Pola Bilangan
2. Deret Aritmatika
Setelah kamu memahami mengenai barisan aritmatika, saatnya kamu memahami pengertian deret dalam matematika. Deret menjelaskan penjumlahan suku-suku atau bilangan yang ada di dalam barisan aritmatika.
Semisal kamu memiliki barisan 1, 3, 5 maka deret barisan tersebut adalah penjumlahan dari semua sukunya.
Dalam deret, terdapat sisipan dan nilai tengah. Ketika kamu berencana untuk membuat sebuah deret bilangan yang telah diketahui nilai suku pertama dan terakhir, kamu bisa menambahkan bilangan di antara keduanya yang disebut sisipan.
Penting : Bilangan sisipan yang ditambahkan harus memperhatikan beda tiap bilangan.
Rumus Aritmatika
Setelah kamu mempelajari pengertian dari barisan dan deret dalam aritmatika. Sekarang kamu mempelajari rumus-rumus yang digunakan dalam dua sub materi tersebut.
1. Barisan Aritmatika
Dalam barisan, kamu telah belajar mengenai beda tiap bilangan dan suku tiap bilangan. Berikut bentuk barisan aritmatika pada umumnya.
a, a+b, a+2b, ……., a+(n-1)b
Dimana :
U1 = a +0b = a
U2 = a+b
U3 = a+2b
Sehingga rumus untuk mencari suku ke-n seperti di bawah ini :
Un = a+(n-1)b
b = Un – Un-1
Keterangan:
a adalah suku pertama dalam barisan
b adalah beda tiap suku
Un adalah suku ke-n yang dicari
n adalah bilangan bulat
Baca Juga : Bilangan Pecahan
2. Deret Aritmatika
Dikarenakan deret adalah jumlah suatu barisan aritmatika, maka rumusnya sebagai berikut.
Keterangan:
Sn adalah jumlah deret ke-n
Selain itu, untuk mencari Un melalui deret juga bisa menggunakan rumus di bawah ini.
Un = Sn – Sn-1
Dalam suatu deret, kamu juga bisa mencari nilai tengah dari deret tersebut menggunakan rumus di bawah ini.
Keterangan:
Ut adalah bilangan tengah dalam deret
Baca Juga : Sin Cos Tan
Contoh Soal dan Pembahasan
1. Diberikan sebuah barisan 5, -2, -9, -16, ….., tentukan nilai suku ke-9 dari barisan tersebut?
Untuk mengerjakan soal di atas, kamu harus mencari rumus Un dari barisan tersebut dengan menggunakan nilai pada U2, U3, atau U4. Diketahui dalam soal tersebut, suku awal memiliki nilai 5 sehingga a=5.
Un = a + (n-1)b
U2 = 5 + (2-1)b
-2 = 5 + b
-7 = b
U9 = 5 + (9-1)(-7)
U9 = 5 + (8)(-7)
U9 = 5 – 56 = – 51
2. Tentukanlah suatu nilai dari suku ke-33 dari barisan aritmatika 3, 5, 7, 9, …?
Untuk mengerjakan soal tersebut, kamu harus mencari nilai b dan juga Un. Untuk mencari Un bisa menggunakan nilai U2 atau yang lainnya. Nilai suku awal adalah 3 sehingga nilai a = 3.
Un = a + (n-1)b
U2 = 3 + (2-1)b
5 = 3 + b
B = 2
Un = a + (n-1)b
U33 = 3 + (33-1)2
U33 = 3 + 64 = 67
3. Diketahui suku ke-16 suatu barisan aritmatika adalah 34 dengan beda tiap suku adalah 3. Tentukan nilai jumlah deret 34 sukunya
Untuk mengerjakan soal di atas, kamu harus mencari nilai suku awal terlebih dahulu menggunakan nilai dari suku ke-16.
Un = a + (n-1)b
U16 = a + (16-1)3
34 = a + 45
a = -11
Sehingga untuk mencari jumlah deret dari 34 sukunya, kamu bisa menggunakan rumus Sn.
4. Tentukan S7 dari sebuah barisan aritmatika 4, 7, 10, ….?
Langkah awal yang pertama dilakukan adalah mencari beda dalam barisan tersebut dengan menggunakan rumus Un.
Un = a + (n-1)b
U2 = 4 + (2-1)b
7 = 4 + b
b = 3
Sehingga untuk mencari jumlah 7 suku dalam barisan tersebut sebagai berikut
5. Diketahui sebuah barisan aritmatika dengan suku pertama adalah 25 dan suku kesebelas dari barisan tersebut adalah 55. Tentukan suku-20 dari barisan tersebut
Untuk mengerjakan soal tersebut, kamu bisa menggunakan rumus Un yang ada dalam barisan aritmatika. Diketahui bahwa suku pertama adalah 25 sehingga a = 25 dan suku kesebelas adalah 55 sehingga U11 = 55.
Un = a + (n-1)b
U11 = 25 + (11-1)b
55 = 25 + 10b
30 = 10b
b = 3
Sehingga untuk mencari nilai suku ke-20 adalah
Un = a + (n-1)b
U20 = 25 + (20-1)3
U20 = 25 + 57 = 82
6. Jika diketahui nilai Sn suatu barisan aritmatika adalah 81. Tentukan banyak suku dalam barisan aritmatika tersebut jika a= 1 dan U2= 3
Untuk mengerjakan soal di atas, kamu bisa menggunakan rumus Un sehingga mendapatkan beda tiap suku.
Un = a + (n-1)b
U2 = 1 + (2-1)b
3 = 1 + b
b = 2
Setelah menemukan nilai b, kamu bisa mencari banyak suku dengan menggunakan rumus Sn.
Mempelajari deret aritmatika mampu membantumu untuk menyelesaikan masalah-masalah yang berhubungan dengan susunan bilangan. Dengan memahami materi ini lebih baik, kamu bisa menyelesaikan soal-soal lebih cepat dan tepat.
Demikianlah pembahasan kami tentang rumus deret aritmatika beserta contoh soal dan pembahasannya lengkap, semoga bermanfaat untuk semua para pembaca setia situs majalahpendidikan.com.
